11月10日下午3点，图书馆和数学科学学院联合举办的“数学之美”系列讲座第四讲在图书馆南配楼艺术鉴赏厅举行。北京大学博雅特聘教授郭帅以“计数几何与镜像对称”为题介绍了数学家们在计数几何领域的研究，并着重描绘了对称性的几何之美。来自全校各院系的几十位同学报名参加了此次讲座。

讲座现场

郭帅介绍了计数几何问题的起源和发展。他先从较为简单的古典计数几何问题“与三个一般位置的圆每个都相切的圆有几个”“与一般位置的圆锥曲线都相切的圆锥曲线有几条”“过平面内五个点有几条圆锥曲线”“与空间内给定四条线有几条线相交”等引入，帮助听讲者了解计数几何问题的基本特征——主要解决一般位置的有理曲线问题，研究多元代数方程的解的个数。郭帅介绍了一个较为复杂的古典计数几何问题“给定次数d，在五次卡拉比-丘三维空间中有多少条d次曲线”，并顺势介绍了一些与该问题的研究有关的概念，如Schubert演算法、数量守恒定律与希尔伯特第15问题等。为了帮助听众更好地理解这个专业性较强的问题，郭帅举了多个相关的例子，包括二次曲面上的直线条数、三次曲面上的直线条数、过平面九个点的三次曲线等。在对这一计数几何问题进行详细介绍后，郭帅点明现代计数几何的主要理论基础是Gromov和Witten不变量，用于处理稳定映射和稳定曲线的模空间。之后，郭帅还对“模空间”这一较为抽象的概念进行了详细讲解。

郭帅作讲座

郭帅介绍现代计数几何中的结构。郭帅着重讲解了一些关键概念，比如Gromov-Witten势函数、量子乘积及其结合律、平面计数问题的量子乘积、从结合律到递归算法等。Gromov-Witten势函数从物理学上拓扑学理论中的自由能——无穷维空间上的费曼路径积分中来，对应到数学上则是定义为计数不变量的生成函数。量子乘积的乘法具有结合性质，给了势函数F很强的约束。将量子乘积这种方法应用到前面提及的古典计数问题中，可以得到一个看起来较为复杂的势函数的式子。从结合律到递归算法，可以将结合律的方程形式等价于一个组合公式，而该公式具有递归数列的关系：左边d次方可以递归算出右边的线条数量N。郭帅还补充了“退化”的相关内容：退化会影响到维数本身。举实例来看，比如一个一般的四次曲线的方程，倘若其可以因式分解成两个二次曲线相乘，由于两个二次曲线相乘的限制比不上一个一般的四次曲线的限制，故这样就是退化。此外，郭帅还补充讲解了高亏格的结构计算——运用费曼图。

郭帅介绍镜像对称在计数几何中的应用。郭帅介绍了拓扑不变量这一概念，并举最经典的不变量——欧拉示形数来说明相关问题。他还介绍了两个互为镜像的卡拉比-丘空间的两个性质——两个互为镜像的卡拉比-丘三维空间的欧拉示形数互为相反；两个互为镜像的卡拉比-丘三维空间的Hodge矩阵互为转置。这一性质可以用于找到卡拉比丘的更多信息，因为一般来讲，在一边是困难的问题，在另一边也许会变得简单。郭帅介绍了镜像流形上的周期与镜变换。将镜像变换用于原卡拉比丘流形的生成函数，可以将原本正规化的汤川耦合函数变为一个极其简单的有理函数。而这便是镜像对称猜想。一般化之，这一猜想实际上给出了一种一次性得到全部计数不变量的方法。而对于镜像对称运用于高亏格相关问题的方法，郭帅指出，应当运用费曼图加以研究，并且关于高亏格镜像对称的BCOV猜想，在数学上已经由郭帅-李骏-李卫平-张怀良以及郭帅-Felix Janda-阮勇斌分别独立证明。综合以上两种情况，物理中通过费曼路径积分（不严格定义）的传播子可以有一个（数学上严格的）代数几何的解释。郭帅展示了通过镜像对称得到的数据，并讲解了计算它们的意义：在数学上，除了作为一种基础的几何不变量，还与其他数学分支产生关联，包括计数几何、Donaldson-Thomas理论、双有理几何等；在物理上，计数不变量的渐进性和黑洞熵紧密联系，具体不变量的数值则涉及到弦现象学。

学生提问

提问交流环节，现场的同学积极发问，就表中最后数据为何会出现负数、流形与卡拉比-丘的概念、量子乘积的得名与高亏格为何与量子有关等问题提出自己的疑惑，而郭帅也耐心细致地一一作了解答。

主讲嘉宾简介：

郭帅，北京大学博雅特聘教授，数学科学学院数学物理教研室主任，主要研究领域是拓扑弦理论和计数几何。曾荣获求是杰出青年学者奖、国家杰出青年科学基金、教育部青年科学奖等多项荣誉和奖励。在最近的一系列工作中，郭帅通过独有的计算技术，证明了紧致Calabi-Yau五次超曲面上全亏格镜像对称和高亏格Gromov-Witten不变量的一系列结构性猜想，其中包括该领域20多年来一直悬而未解的核心问题之一：BCOV猜想。迄今，在包括Annals of Mathematics、Forum of Mathematics,、Pi等国际顶尖数学杂志上发表多篇论文。